Кварацхелия выступал за «Рубин» с 2019 по 2022 год, после чего перешел в батумское «Динамо», воспользовавшись правом приостановить контракт с российским клубом. 27 апреля президент «Наполи» Аурелио Де Лаурентис объявил, что Кварацхелия перейдет летом в итальянский клуб.